5 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Таблица нормальных значений

Talkin go money

Т-критерий Стьюдента за 12 минут. Биостатистика. (Январь 2020).

Формула нормального распределения основана на двух простых параметрах — среднем и стандартном отклонениях, которые определяют количественно характеристики данного набора данных. В то время как среднее означает «центральное» или среднее значение всего набора данных, стандартное отклонение указывает «разброс» или изменение точек данных вокруг этого среднего значения.

Рассмотрим следующие 2 набора данных:

Для набора данных 1, среднее значение = 10 и стандартное отклонение (stddev) = 0

Для Dataset2 среднее значение = 10 и стандартное отклонение (stddev) = 2. 83

Давайте нарисуем эти значения для DataSet1:

Аналогично для DataSet2:

Красная горизонтальная линия на обоих приведенных выше графиках указывает «среднее» или среднее значение каждого набора данных (в обоих случаях — 10). Розовые стрелки на втором графике показывают разброс или изменение значений данных из среднего значения. Это представлено стандартным значением отклонения 2. 83 в случае DataSet2. Поскольку DataSet1 имеет все значения одинаковые (по 10 каждый) и никаких изменений, значение stddev равно нулю, и, следовательно, не применяются розовые стрелки.

Значение stddev имеет несколько существенных и полезных характеристик, которые чрезвычайно полезны при анализе данных. Для нормального распределения значения данных симметрично распределены по обе стороны от среднего значения. Для любого нормально распределенного набора данных, график графика с stddev по горизонтальной оси и нет. значений данных по вертикальной оси, получается следующий график.

Свойства нормального распределения

  1. Нормальная кривая симметрична относительно среднего;
  2. Среднее значение находится в середине и делит область на две половины;
  3. Общая площадь под кривой равна 1 для среднего = 0 и stdev = 1;
  4. Распределение полностью описывается его средним значением и stddev

Как видно из приведенного выше графика, stddev представляет следующее:

  • 68. 3% значений данных находятся в пределах 1 стандартного отклонения от среднего (от -1 до +1)
  • 95. 4% значений данных находятся в пределах 2 стандартных отклонения от среднего (от -2 до +2)
  • 99. 7% значений данных находятся в пределах 3 стандартных отклонения от среднего (от -3 до +3)

Площадь под кривой колоколообразной кривой при измерении указывает на желаемую вероятность данного диапазон:

  • меньше, чем X: — e. г. вероятность значений данных меньше 70
  • больше X — e. г. вероятность значений данных больше 95
  • между X 1 и X 2 e. г. вероятность значений данных между 65 и 85

, где X представляет интересную ценность (примеры ниже).

Построение и вычисление области не всегда удобно, так как разные наборы данных будут иметь разные значения среднего и stddev.Чтобы облегчить единый стандартный метод для простых вычислений и применимости к реальным проблемам, было введено стандартное преобразование в значения Z, которые составляют часть таблицы Normal Distribution Table .

Z = (X — среднее) / stddev, где X — случайная величина.

В основном это преобразование заставляет среднее и stddev стандартизоваться на 0 и 1 соответственно, что позволяет использовать стандартный набор Z-значений (из Normal Distribution Table ), который будет использоваться для легких вычислений , Захват стандартной таблицы значений z, содержащей значения вероятности, выглядит следующим образом:

Нормальное распределение (Гаусса) в Excel

В статье подробно показано, что такое нормальный закон распределения случайной величины и как им пользоваться при решении практически задач.

Нормальное распределение в статистике

История закона насчитывает 300 лет. Первым открывателем стал Абрахам де Муавр, который придумал аппроксимацию биномиального распределения еще 1733 году. Через много лет Карл Фридрих Гаусс (1809 г.) и Пьер-Симон Лаплас (1812 г.) вывели математические функции.

Лаплас также обнаружил замечательную закономерность и сформулировал центральную предельную теорему (ЦПТ), согласно которой сумма большого количества малых и независимых величин имеет нормальное распределение.

Нормальный закон не является фиксированным уравнением зависимости одной переменной от другой. Фиксируется только характер этой зависимости. Конкретная форма распределения задается специальными параметрами. Например, у = аx + b – это уравнение прямой. Однако где конкретно она проходит и под каким наклоном, определяется параметрами а и b. Также и с нормальным распределением. Ясно, что это функция, которая описывает тенденцию высокой концентрации значений около центра, но ее точная форма задается специальными параметрами.

Кривая нормального распределения Гаусса имеет следующий вид.

График нормального распределения напоминает колокол, поэтому можно встретить название колоколообразная кривая. У графика имеется «горб» в середине и резкое снижение плотности по краям. В этом заключается суть нормального распределения. Вероятность того, что случайная величина окажется около центра гораздо выше, чем то, что она сильно отклонится от середины.

На рисунке выше изображены два участка под кривой Гаусса: синий и зеленый. Основания, т.е. интервалы, у обоих участков равны. Но заметно отличаются высоты. Синий участок удален от центра, и имеет существенно меньшую высоту, чем зеленый, который находится в самом центре распределения. Следовательно, отличаются и площади, то бишь вероятности попадания в обозначенные интервалы.

Формула нормального распределения (плотности) следующая.

Формула состоит из двух математических констант:

π – число пи 3,142;

е – основание натурального логарифма 2,718;

двух изменяемых параметров, которые задают форму конкретной кривой:

m – математическое ожидание (в различных источниках могут использоваться другие обозначения, например, µ или a);

ну и сама переменная x, для которой высчитывается плотность вероятности.

Конкретная форма нормального распределения зависит от 2-х параметров: математического ожидания (m) и дисперсии ( σ 2 ). Кратко обозначается N(m, σ 2 ) или N(m, σ). Параметр m (матожидание) определяет центр распределения, которому соответствует максимальная высота графика. Дисперсия σ 2 характеризует размах вариации, то есть «размазанность» данных.

Параметр математического ожидания смещает центр распределения вправо или влево, не влияя на саму форму кривой плотности.

А вот дисперсия определяет остроконечность кривой. Когда данные имеют малый разброс, то вся их масса концентрируется у центра. Если же у данных большой разброс, то они «размазываются» по широкому диапазону.

Плотность распределения не имеет прямого практического применения. Для расчета вероятностей нужно проинтегрировать функцию плотности.

Вероятность того, что случайная величина окажется меньше некоторого значения x, определяется функцией нормального распределения:


Используя математические свойства любого непрерывного распределения, несложно рассчитать и любые другие вероятности, так как

P(a ≤ X 0 =1 и остается рассчитать только соотношение 1 на корень из 2 пи.

Таким образом, по графику хорошо видно, что значения, имеющие маленькие отклонения от средней, выпадают чаще других, а те, которые сильно отдалены от центра, встречаются значительно реже. Шкала оси абсцисс измеряется в стандартных отклонениях, что позволяет отвязаться от единиц измерения и получить универсальную структуру нормального распределения. Кривая Гаусса для нормированных данных отлично демонстрирует и другие свойства нормального распределения. Например, что оно является симметричным относительно оси ординат. В пределах ±1σ от средней арифметической сконцентрирована большая часть всех значений (прикидываем пока на глазок). В пределах ±2σ находятся большинство данных. В пределах ±3σ находятся почти все данные. Последнее свойство широко известно под названием правило трех сигм для нормального распределения.

Функция стандартного нормального распределения позволяет рассчитывать вероятности.

Понятное дело, вручную никто не считает. Все подсчитано и размещено в специальных таблицах, которые есть в конце любого учебника по статистике.

Таблица нормального распределения

Таблицы нормального распределения встречаются двух типов:

— таблица плотности;

— таблица функции (интеграла от плотности).

Таблица плотности используется редко. Тем не менее, посмотрим, как она выглядит. Допустим, нужно получить плотность для z = 1, т.е. плотность значения, отстоящего от матожидания на 1 сигму. Ниже показан кусок таблицы.

В зависимости от организации данных ищем нужное значение по названию столбца и строки. В нашем примере берем строку 1,0 и столбец , т.к. сотых долей нет. Искомое значение равно 0,2420 (0 перед 2420 опущен).

Функция Гаусса симметрична относительно оси ординат. Поэтому φ(z)= φ(-z), т.е. плотность для 1 тождественна плотности для -1, что отчетливо видно на рисунке.

Чтобы не тратить зря бумагу, таблицы печатают только для положительных значений.

На практике чаще используют значения функции стандартного нормального распределения, то есть вероятности для различных z.

В таких таблицах также содержатся только положительные значения. Поэтому для понимания и нахождения любых нужных вероятностей следует знать свойства стандартного нормального распределения.

Функция Ф(z) симметрична относительно своего значения 0,5 (а не оси ординат, как плотность). Отсюда справедливо равенство:

Это факт показан на картинке:

Значения функции Ф(-z) и Ф(z) делят график на 3 части. Причем верхняя и нижняя части равны (обозначены галочками). Для того, чтобы дополнить вероятность Ф(z) до 1, достаточно добавить недостающую величину Ф(-z). Получится равенство, указанное чуть выше.

Если нужно отыскать вероятность попадания в интервал (0; z), то есть вероятность отклонения от нуля в положительную сторону до некоторого количества стандартных отклонений, достаточно от значения функции стандартного нормального распределения отнять 0,5:

Для наглядности можно взглянуть на рисунок.

На кривой Гаусса, эта же ситуация выглядит как площадь от центра вправо до z.

Довольно часто аналитика интересует вероятность отклонения в обе стороны от нуля. А так как функция симметрична относительно центра, предыдущую формулу нужно умножить на 2:

Под кривой Гаусса это центральная часть, ограниченная выбранным значением –z слева и z справа.

Читать еще:  Ранние признаки гепатита

Указанные свойства следует принять во внимание, т.к. табличные значения редко соответствуют интересующему интервалу.

Для облегчения задачи в учебниках обычно публикуют таблицы для функции вида:

Если нужна вероятность отклонения в обе стороны от нуля, то, как мы только что убедились, табличное значение для данной функции просто умножается на 2.

Теперь посмотрим на конкретные примеры. Ниже показана таблица стандартного нормального распределения. Найдем табличные значения для трех z: 1,64, 1,96 и 3.

Как понять смысл этих чисел? Начнем с z=1,64, для которого табличное значение составляет 0,4495. Проще всего пояснить смысл на рисунке.

То есть вероятность того, что стандартизованная нормально распределенная случайная величина попадет в интервал от до 1,64, равна 0,4495. При решении задач обычно нужно рассчитать вероятность отклонения в обе стороны, поэтому умножим величину 0,4495 на 2 и получим примерно 0,9. Занимаемая площадь под кривой Гаусса показана ниже.

Таким образом, 90% всех нормально распределенных значений попадает в интервал ±1,64σ от средней арифметической. Я не случайно выбрал значение z=1,64, т.к. окрестность вокруг средней арифметической, занимающая 90% всей площади, иногда используется для проверки статистических гипотез и расчета доверительных интервалов. Если проверяемое значение не попадает в обозначенную область, то его наступление маловероятно (всего 10%).

Для проверки гипотез, однако, чаще используется интервал, накрывающий 95% всех значений. Половина вероятности от 0,95 – это 0,4750 (см. второе выделенное в таблице значение).

Для этой вероятности z=1,96. Т.е. в пределах почти ±2σ от средней находится 95% значений. Только 5% выпадают за эти пределы.

Еще одно интересное и часто используемое табличное значение соответствует z=3, оно равно по нашей таблице 0,4986. Умножим на 2 и получим 0,997. Значит, в рамках ±3σ от средней арифметической заключены почти все значения.

Так выглядит правило 3 сигм для нормального распределения на диаграмме.

С помощью статистических таблиц можно получить любую вероятность. Однако этот метод очень медленный, неудобный и сильно устарел. Сегодня все делается на компьютере. Далее переходим к практике расчетов в Excel.

Нормальное распределение в Excel

В Excel есть несколько функций для подсчета вероятностей или обратных значений нормального распределения.

Функция НОРМ.СТ.РАСП

Функция НОРМ.СТ.РАСП предназначена для расчета плотности ϕ( z ) или вероятности Φ(z) по нормированным данным (z).

z – значение стандартизованной переменной

интегральная – если 0, то рассчитывается плотность ϕ( z ) , если 1 – значение функции Ф(z), т.е. вероятность P(Z

Таблица нормальных значений

ГОСТ Р 50779.21-2004

НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА
СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПО ВЫБОРОЧНЫМ ДАННЫМ

Statistical methods. Determination rules and methods
for calculation of statistical characteristics based on sample data.
Part 1. Normal distribution

Дата введения 2004-06-01

1 РАЗРАБОТАН Техническим комитетом по стандартизации ТК 125 «Статистические методы в управлении качеством продукции»

2 ВНЕСЕН Научно-техническим управлением Госстандарта России

3 УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Постановлением Госстандарта России от 12 января 2004 г. N 3-ст

4 Настоящий стандарт разработан с учетом основных нормативных положений международного стандарта ИСО 2854:1976 «Статистическое представление данных. Методы оценки и проверки гипотез о средних значениях и дисперсиях» (ISO 2854:76 «Statistical interpretation of data — Techniques of estimation and tests relating to means and variance», NEQ)

5 ВЗАМЕН ГОСТ Р 50779.21-96

Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в указателе «Национальные стандарты», а текст этих изменений — в информационных указателях «Национальные стандарты». В случае пересмотра или отмены настоящего стандарта соответствующая информация будет опубликована в информационном указателе «Национальные стандарты»

Введение

Стандарт устанавливает процедуры и методы решения ряда практических задач статистики в случае, когда наблюдаемые величины являются случайными и распределены по нормальному закону.

В стандарте изложены методы решения следующих задач:

а) точечного оценивания параметров нормального распределения случайной величины;

б) точечного оценивания вероятности попадания (доли распределения) случайной величины в заданный интервал и вне его;

в) интервального (доверительного) оценивания параметров нормального распределения и доли распределения;

г) проверки гипотез об этих же величинах.

Все процедуры, приведенные в стандарте, используют ограниченный ряд статистически независимых наблюдений, полученных в производстве, в лабораторных условиях, при контроле, измерении, оценке и т.п.

1 Область применения

Настоящий стандарт устанавливает методы, применяемые для:

— оценки математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности;

— проверки гипотез относительно значений этих параметров;

— оценки вероятности попадания (доли распределения) случайной величины в заданный интервал.

Примечание — Вероятность попадания случайной величины в интервал равна доле распределения случайной величины в этом интервале. В большинстве практических задач физический смысл имеет понятие «доля распределения случайной величины в интервале», которое далее применено в настоящем стандарте.

Методы, изложенные в настоящем стандарте, применимы в том случае, если выполнены следующие условия:

— элементы выборки получены путем независимых повторений эксперимента. В случае конечной генеральной совокупности объем выборки должен составлять не более 10% объема генеральной совокупности;

— наблюдаемые переменные распределены по нормальному закону. Однако если распределение вероятностей несильно отличается от нормального, то описанные в стандарте методы остаются применимыми для большинства практических приложений. В этом случае объем выборки должен быть не менее 10 единиц, причем достоверность получаемых статистических выводов возрастает при увеличении объемов выборок.

2 Нормативные ссылки

В настоящем стандарте использованы ссылки на следующие стандарты:

ГОСТ Р 50779.10-2000 (ИСО 3534-1-93) Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения

ГОСТ Р 50779.11-2000 (ИСО 3534-2-93) Статистические методы. Статистическое управление качеством. Термины и определения

Примечание — При пользовании настоящим стандартом целесообразно проверить действие ссылочных стандартов по указателю «Национальные стандарты», составленному по состоянию на 1 января текущего года, и по соответствующим информационным указателям, опубликованным в текущем году. Если ссылочный документ заменен (изменен), то при пользовании настоящим стандартом следует руководствоваться замененным (измененным) стандартом. Если ссылочный документ отменен без замены, то положение, в котором дана ссылка на него, применяется в части, не затрагивающей эту ссылку.

3 Термины и определения

В настоящем стандарте применены термины по ГОСТ Р 50779.10 и ГОСТ Р 50779.11, а также следующие термины с соответствующими определениями:

3.1 точечное оценивание параметра: Получение оценки параметра в виде одного численного значения;

3.2 интервальное (доверительное) оценивание параметра: Получение оценки параметра в виде доверительного интервала;

3.3 доверительный интервал: Интервал, границы которого являются функциями от выборочных данных и который накрывает истинное значение оцениваемого параметра с вероятностью не менее 1- (где 1- — доверительная вероятность).

Примечание — Доверительный интервал может быть двусторонним или односторонним;

3.4 нулевая гипотеза: Предположение о распределении генеральной совокупности, которое проверяют по статистическим данным.

Примечание — В частности, в настоящем стандарте рассмотрены предположения о значениях параметров распределения.

4 Обозначения

В настоящем стандарте применены следующие обозначения:

математическое ожидание нормального закона распределения (среднее значение генеральной совокупности, далее — среднее значение);

известное значение параметра ;

математические ожидания для двух различных генеральных совокупностей;

точечная оценка параметра ; ;

верхняя и нижняя доверительные границы параметра ;

точечная оценка разности значений параметров и ;

стандартное (среднеквадратичное) отклонение нормально распределенной случайной величины;

дисперсия генеральной совокупности; ;

известное значение дисперсии генеральной совокупности, ;

известное численное значение параметра ;

известные значения параметров и для двух генеральных совокупностей;

точечная оценка параметра , ;

верхняя и нижняя доверительные границы параметра ;

точечная оценка дисперсии;

выборочное значение наблюдаемой случайной величины;

выборочное значение случайной величины из первой генеральной совокупности;

то же, из второй генеральной совокупности;

среднеарифметические значения (выборочные средние);

выборочное стандартное (среднеквадратичное) отклонение;

то же для двух выборок соответственно;

риск первого рода (вероятность отвергнуть гипотезу, когда она верна);

уровень значимости при проверке гипотез, а также доверительная вероятность ;

число степеней свободы;

квантили стандартного нормального закона распределения уровней и соответственно;

квантили распределения Стьюдента с степенями свободы уровней и соответственно;

квантиль распределения Фишера с и степенями свободы уровня ;

квантили распределения с степенями свободы уровней , и соответственно;

нижняя и верхняя границы интервала соответственно;

доля распределения (вероятность попадания) случайной величины в заданный интервал ;

доля распределения (вероятность попадания) случайной величины вне интервала , причем ;

точечные оценки и ;

нижние односторонние доверительные границы для и ;

верхние односторонние доверительные границы для и ;

случайное событие: например, попадание случайной величины в заданный интервал;

вероятность случайного события ;

сумма выборочных значений.

5 Общие требования

5.1 Настоящий стандарт содержит описание типовых статистических задач, а также процедур, при помощи которых они решаются. Представленные задачи могут быть разбиты на три класса:

— точечное и интервальное оценивание среднего значения генеральной совокупности;

— точечное и интервальное оценивание дисперсии генеральной совокупности;

— точечное и интервальное оценивание доли распределения (вероятность попадания) случайной величины в заданном интервале и вне его.

5.2 Для решения каждой из перечисленных задач по 5.1 приведены процедуры их решения (разделы 6, 7, 8), включающие в себя:

1) статистические и исходные данные;

2) определение стандартных табличных данных, которые необходимы для проведения вычислений (приложения А, Б, В, Г), а также проведение вычислений параметров коэффициентов по приведенным формулам;

3) результаты, полученные в итоге проведенных вычислений.

5.3 Для задач каждого класса приведены примеры их применения на практике (в производстве, медицине, химии). Спектр возможных применений этих задач не ограничивается приведенными в разделах 6, 7, 8 примерами.

5.4 Во всех приведенных задачах предполагается, что статистические и исходные данные подчиняются нормальному закону распределения. В тех случаях, когда изначально в этом нет достаточной уверенности, должны быть проведены предварительные исследования соответствия исходных данных нормальному закону.

5.5 Процедуры решения перечисленных в 5.1 задач представлены в таблицах, соответствующих этим задачам (разделы 6, 7, 8).

Номера таблиц разделов 6, 7, 8 для решения соответствующих задач перечислены в обобщенных таблицах 5.1, 5.2, 5.3, 5.4.

Таблица 5.1 — Номера таблиц для решения задач по оценке среднего значения (раздел 6)

Статистические таблицы

Распределение Фишера F-распределение для alpha=0.05

F-распределение является асимметричным и обычно используется в дисперсионном анализе. Такую плотность распределения имеют величины, являющиеся отношением двух величин, имеющих хи-квадрат распределение, при этом соответствующее F-распределение определяется двумя значениями числа степеней свободы. Первый индекс всегда соответствует числу степеней свободы для числителя, и этот порядок является существенным, поскольку F(10,12) не равно F(12,10). В…

Статистика Дарбина-Уотсона: dL и dU

уровень значимости α=1% n — число наблюдений, k — число объясняющих переменных (без учета постоянного члена) n k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5 dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU 15 0,81 1,07 0,70 1,25 0,59 1,46…

Распределение Дарбина-Уотсона

Уровень значимости α=0.01 n – объем выборки, m – число объясняющих переменных в уравнении регрессии n m=1 m=2 m=3 m=4 d1 d2 d1 d2 d1 d2 d1 d2 6 0,390 1,142 7 0,433 1,036 0,294 1,676 8 0,497 1,003 0,343…

Таблица значений интегральной функции Лапласа

Стандартное нормальное распределение используется при проверке различных гипотез, в том числе о среднем значении, различии между двумя средними и о пропорциональности значений. Оно имеет среднее 0 и стандартное отклонение 1. Значения, приведенные в таблице, представляют собой величину площади под стандартной нормальной (гауссовой) кривой от 0 до соответствующего z-значения. Например, величина этой площади…

Распределение статистики Колмогорова

ТАБЛИЦА распределений статистик непараметрических критериев согласия Функция распределения статистики Колмогорова K ( S ) при проверке простой гипотезы S 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,2 0,000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000001 000004 0,3 0,000009 000021 000046 000091 000171 000303 000511 000826 001285 001929 0,4 0,002808 003972 005476…

Таблица уровней вероятности коэффициентов автокорреляции

Размер выборки Положительные значения ra Отрицательные значения ra 5% уровень 1% уровень 5% уровень 1% уровень 5 0,253 0,297 -0,753 -0,798 6 0,354 0,447 -0,708 -0,863 7 0,370 0,510 -0,674 -0,799 8 0,371 0,531 -0,625 -0,764 9 0,366 0,533 -0,593 -0,737 10 0,360 0,525 -0,564 -0,705 11 0,353 0,515 -0,539…

Критические точки χ2 — распределения

Форма хи-квадрат распределения определяется числом степеней свободы. Искомое значение находится на пересечении столбца с соответствующим значением вероятности и строки с числом степеней свободы. Например, критическое значение хи-квадрат распределения с 4 степенями свободы для вероятности 0.25 составляет 5.38527. Это означает, что площадь под кривой плотности хи-квадрат распределения с 4 степенями свободы справа от…

Распределение Фишера F-распределение для alpha=0.025

F-распределение является асимметричным и обычно используется в дисперсионном анализе. Такую плотность распределения имеют величины, являющиеся отношением двух величин, имеющих хи-квадрат распределение, при этом соответствующее F-распределение определяется двумя значениями числа степеней свободы. Первый индекс всегда соответствует числу степеней свободы для числителя, и этот порядок является существенным, поскольку F(10,12) не равно F(12,10). В столбце показано число…

Распределение Стьюдента

Форма распределения Стьюдента зависит от числа степеней свободы. Например, критическое значение, соответствующее вероятности 0.05 t-распределения с 6 степенями свободы, находится на пересечении столбца 0.05 и строки 6: t(.05,6) = 1.943180. dfp 0.40 0.25 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0005 1 0.324920 1.000000 3.077684 6.313752 12.70620 31.82052 63.65674 636.6192 2 0.288675 0.816497…

Таблица значений локальной функции Лапласа

Значения плотности стандартного нормального распределения 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,398942 0,398922 0,398862 0,398763 0,398623 0,398444 0,398225 0,397966 0,397668 0,397330 0,1 0,396953 0,396536 0,396080 0,395585 0,395052 0,394479 0,393868 0,393219 0,392531 0,391806 0,2 0,391043 0,390242 0,389404 0,388529 0,387617 0,386668 0,385683 0,384663 0,383606…

НОРМСТРАСП функция стандартного нормального распределения в Excel

Функция НОРМСТРАСП в Excel используется для нахождения значения статистической функции стандартного нормального распределения. Рассмотрим примеры использования данной функции и самостоятельно составим таблицу нормального закона.

Алгоритм функции нормального стандартного распределения чисел в Excel

В новых версиях Microsoft Office была введена более универсальная функция =НОРМ.СТ.РАСП(), содержащая дополнительный аргумент, который принимает два возможных значения:

  • ИСТИНА – для получения интегральной функции распределения;
  • ЛОЖЬ – для получения весовой функции распределения.

Стандартное нормальное распределение (СНР) – специальная форма распределения, используемая в качестве эталона для оценки данных любого вида. Данный тип распределения по причине неудобства использования формулы общего нормального распределения на практике.

Главные особенности функции:

  1. Площадь участка, ограниченного кривой и осью абсцисс принята за 1.
  2. Стандартное отклонение считается равным 1.
  3. Среднее арифметическое значение принято равным 0.
  4. В функцию f(x) общего теоретического нормального распределения введена переменная z (стандартная нормальная).

Переменная z рассчитывается по формуле:

  • X – значение некоторой случайной величины;
  • µ — среднее значение;
  • ó — значение стандартного отклонения.

Смысл переменной z – число стандартных отклонений, на которые отличается значение случайной величины от среднего значения.

Функция НОРМСТРАСП возвращает результат, рассчитанный на основе следующей формулы:

Именно так и выглядит алгоритм вычисления функции НОРМСТРАСП в Excel

Таблица стандартного нормального распределения в Excel

Пример 1. Найти стандартные нормальные распределения для числовых данных, указанных в таблице.

Вид таблицы данных:

Для расчетов используем следующую формулу:

  • A2:A11 – диапазон ячеек, содержащих значения переменной z.

С принципом действия функции мы ознакомились. Теперь ничто нам не мешает составить свою таблицу стандартного распределения в Excel. Для этого построим шаблон таблицы нормального закона и заполним ее ячейки формулой со смешанными ссылками:

Таким образом мы самостоятельно составили таблицу стандартного нормального распределения в Excel.

Расчет вероятности стандартным нормальным распределением в Excel

Пример 2. На заводе изготавливают лампочки. Средний период бесперебойной работы каждой лампы составляет 1000 ч. Стандартное отклонение от срока службы составляет 50 ч. Определить вероятность для каждого из указанных случаев:

  1. Купленная лампа будет работать не более 1200 ч.
  2. Срок службы составит менее 800 ч.
  3. Количество ламп в партии из 500 шт., которые проработают от 900 до 1100 часов.

Вид таблицы данных:

Для расчета вероятности срока службы менее 1200 ч используем следующую формулу:

(1200-B2)/B3 – выражение для расчета переменной z.

В результате вычислений получим следующее значение вероятности:

Аналогично рассчитаем вероятность того, что срок службы составит менее 800 часов:

Результат вычислений (получена слишком маленькая вероятность, поэтому для наглядности был установлен формат Проценты):

Нормальное распределение является симметричным относительно оси ординат, поэтому функция НОРМСТРАСП может вычислить значение даже для отрицательного z.

Для определения числа ламп, которые проработают 900-1100 часов, используем формулу:

То есть, была вычислена разность вероятностей двух событий: есть лампы, которые проработают менее 1100 часов, а также лампы, которые проработают менее 900 часов. Результат произведения полученной вероятности и общего числа ламп в партии является искомым значением.

Описание параметров функции НОРМСТРАСП в Excel

Функция НОРМСТРАСП имеет следующую синтаксическую запись:

  • z – единственный аргумент, обязательный для заполнения, принимающий числовое значение стандартной нормальной переменной.
  1. В качестве аргумента z может быть передано числовое значение, преобразуемый в число текст, логическое значение (например, результат выполнения функции =НОРМСТРАСП(ИСТИНА) будет число 0,841, поскольку данная функция выполняет промежуточное преобразование логического ИСТИНА в число 1), ссылка на ячейку с числовыми данными.
  2. Если функция НОРМСТРАСП получила в качестве аргумента текст, не преобразуемый в числовые данные, она вернет код ошибки #ЗНАЧ!.

Нормальное распределение. Непрерывные распределения в MS EXCEL

Рассмотрим Нормальное распределение. С помощью функции MS EXCEL НОРМ.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Сгенерируем массив случайных чисел, распределенных по нормальному закону, произведем оценку параметров распределения, среднего значения и стандартного отклонения.

Нормальное распределение (также называется распределением Гаусса) является самым важным как в теории, так в приложениях системы контроля качества. Важность значения Нормального распределения (англ. Normal distribution) во многих областях науки вытекает из Центральной предельной теоремы теории вероятностей.

Определение: Случайная величина x распределена по нормальному закону, если она имеет плотность распределения:

Нормальное распределение зависит от двух параметров: μ (мю) — является математическим ожиданием (средним значением случайной величины), и σ (сигма) — является стандартным отклонением (среднеквадратичным отклонением). Параметр μ определяет положение центра плотности вероятности нормального распределения, а σ — разброс относительно центра (среднего).

Примечание: О влиянии параметров μ и σ на форму распределения изложено в статье про Гауссову кривую, а в файле примера на листе Влияние параметров можно с помощью элементов управления Счетчик понаблюдать за изменением формы кривой.

Нормальное распределение в MS EXCEL

В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для Нормального распределения имеется функция НОРМ.РАСП() , английское название — NORM.DIST(), которая позволяет вычислить плотность вероятности (см. формулу выше) и интегральную функцию распределения (вероятность, что случайная величина X, распределенная по нормальному закону, примет значение меньше или равное x). Вычисления в последнем случае производятся по следующей формуле:

Вышеуказанное распределение имеет обозначение N(μ; σ). Так же часто используют обозначение через дисперсию N(μ; σ 2 ).

Примечание: До MS EXCEL 2010 в EXCEL была только функция НОРМРАСП() , которая также позволяет вычислить функцию распределения и плотность вероятности. НОРМРАСП() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.

Стандартное нормальное распределение

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием μ=0 и дисперсией σ=1. Вышеуказанное распределение имеет обозначение N(0;1).

Примечание: В литературе для случайной величины, распределенной по стандартному нормальному закону, закреплено специальное обозначение z.

Любое нормальное распределение можно преобразовать в стандартное через замену переменной z=(x-μ)/σ. Этот процесс преобразования называется стандартизацией.

Примечание: В MS EXCEL имеется функция НОРМАЛИЗАЦИЯ() , которая выполняет вышеуказанное преобразование. Хотя в MS EXCEL это преобразование называется почему-то нормализацией. Формулы =(x-μ)/σ и =НОРМАЛИЗАЦИЯ(х;μ;σ) вернут одинаковый результат.

В MS EXCEL 2010 для стандартного нормального распределения имеется специальная функция НОРМ.СТ.РАСП() и ее устаревший вариант НОРМСТРАСП() , выполняющий аналогичные вычисления.

Продемонстрируем, как в MS EXCEL осуществляется процесс стандартизации нормального распределения N(1,5; 2).

Для этого вычислим вероятность, что случайная величина, распределенная по нормальному закону N(1,5; 2), меньше или равна 2,5. Формула выглядит так: =НОРМ.РАСП(2,5; 1,5; 2; ИСТИНА) =0,691462. Сделав замену переменной z=(2,5-1,5)/2=0,5, запишем формулу для вычисления Стандартного нормального распределения: =НОРМ.СТ.РАСП(0,5; ИСТИНА) =0,691462.

Естественно, обе формулы дают одинаковые результаты (см. файл примера лист Пример ).

Обратите внимание, что стандартизация относится только к интегральной функции распределения (аргумент интегральная равен ИСТИНА), а не к плотности вероятности.

Примечание: В литературе для функции, вычисляющей вероятности случайной величины, распределенной по стандартному нормальному закону, закреплено специальное обозначение Ф(z). В MS EXCEL эта функция вычисляется по формуле
=НОРМ.СТ.РАСП(z;ИСТИНА) . Вычисления производятся по формуле

В силу четности функции плотности стандартного нормального распределения f(x), а именно f(x)=f(-х), функция стандартного нормального распределения обладает свойством Ф(-x)=1-Ф(x).

Обратные функции

Функция НОРМ.СТ.РАСП(x;ИСТИНА) вычисляет вероятность P, что случайная величина Х примет значение меньше или равное х. Но часто требуется провести обратное вычисление: зная вероятность P, требуется вычислить значение х. Вычисленное значение х называется квантилем стандартного нормального распределения.

В MS EXCEL для вычисления квантилей используют функцию НОРМ.СТ.ОБР() и НОРМ.ОБР() .

Графики функций

В файле примера приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения.

Как известно, около 68% значений, выбранных из совокупности, имеющей нормальное распределение, находятся в пределах 1 стандартного отклонения (σ) от μ(среднего или математического ожидания); около 95% — в пределах 2-х σ, а в пределах 3-х σ находятся уже 99% значений. Убедиться в этом для стандартного нормального распределения можно записав формулу:

которая вернет значение 68,2689% — именно такой процент значений находятся в пределах +/-1 стандартного отклонения от среднего (см. лист График в файле примера ).

В силу четности функции плотности стандартного нормального распределения: f(x)=f(-х), функция стандартного нормального распределения обладает свойством F(-x)=1-F(x). Поэтому, вышеуказанную формулу можно упростить:

Для произвольной функции нормального распределения N(μ; σ) аналогичные вычисления нужно производить по формуле:

Вышеуказанные расчеты вероятности требуются для построения доверительных интервалов.

Примечание: Для построения функции распределения и плотности вероятности можно использовать диаграмму типа График или Точечная (со сглаженными линиями и без точек). Подробнее о построении диаграмм читайте статью Основные типы диаграмм.

Примечание: Для удобства написания формул в файле примера созданы Имена для параметров распределения: μ и σ.

Генерация случайных чисел

С помощью надстройки Пакет анализа можно сгенерировать случайные числа, распределенные по нормальному закону.

СОВЕТ: О надстройке Пакет анализа можно прочитать в статье Надстройка Пакет анализа MS EXCEL.

Сгенерируем 3 массива по 100 чисел с различными μ и σ. Для этого в окне Генерация случайных чисел установим следующие значения для каждой пары параметров:

Примечание: Если установить опцию Случайное рассеивание (Random Seed), то можно выбрать определенный случайный набор сгенерированных чисел. Например, установив эту опцию равной 25, можно сгенерировать на разных компьютерах одни и те же наборы случайных чисел (если, конечно, другие параметры распределения совпадают). Значение опции может принимать целые значения от 1 до 32 767. Название опции Случайное рассеивание может запутать. Лучше было бы ее перевести как Номер набора со случайными числами.

В итоге будем иметь 3 столбца чисел, на основании которых можно, оценить параметры распределения, из которого была произведена выборка: μ и σ. Оценку для μ можно сделать с использованием функции СРЗНАЧ() , а для σ – с использованием функции СТАНДОТКЛОН.В() , см. файл примера лист Генерация .

Примечание: Для генерирования массива чисел, распределенных по нормальному закону, можно использовать формулу =НОРМ.ОБР(СЛЧИС();μ;σ) . Функция СЛЧИС() генерирует непрерывное равномерное распределение от 0 до 1, что как раз соответствует диапазону изменения вероятности (см. файл примера лист Генерация ).

Задачи

Задача1. Компания изготавливает нейлоновые нити со средней прочностью 41 МПа и стандартным отклонением 2 МПа. Потребитель хочет приобрести нити с прочностью не менее 36 МПа. Рассчитайте вероятность, что партии нити, изготовленные компанией для потребителя, будут соответствовать требованиям или превышать их.
Решение1: = 1-НОРМ.РАСП(36;41;2;ИСТИНА)

Задача2. Предприятие изготавливает трубы, средний внешний диаметр которых равен 20,20 мм, а стандартное отклонение равно 0,25мм. Согласно техническим условиям, трубы признаются годными, если диаметр находится в пределах 20,00+/- 0,40 мм. Какая доля изготовленных труб соответствует ТУ?
Решение2: = НОРМ.РАСП(20,00+0,40;20,20;0,25;ИСТИНА)- НОРМ.РАСП(20,00-0,40;20,20;0,25)
На рисунке ниже, выделена область значений диаметров, которая удовлетворяет требованиям спецификации.

Решение приведено в файле примера лист Задачи .

Задача3. Предприятие изготавливает трубы, средний внешний диаметр которых равен 20,20 мм, а стандартное отклонение равно 0,25мм. Внешний диаметр не должен превышать определенное значение (предполагается, что нижняя граница не важна). Какую верхнюю границу в технических условиях необходимо установить, чтобы ей соответствовало 97,5% всех изготавливаемых изделий?
Решение3: = НОРМ.ОБР(0,975; 20,20; 0,25) =20,6899 или
= НОРМ.СТ.ОБР(0,975)*0,25+20,2 (произведена «дестандартизация», см. выше)

Задача 4. Нахождение параметров нормального распределения по значениям 2-х квантилей (или процентилей).
Предположим, известно, что случайная величина имеет нормальное распределение, но не известны его параметры, а только 2-я процентиля (например, 0,5-процентиль, т.е. медиана и 0,95-я процентиль). Т.к. известна медиана, то мы знаем среднее, т.е. μ. Чтобы найти стандартное отклонение нужно использовать Поиск решения.
Решение приведено в файле примера лист Задачи .

Примечание: До MS EXCEL 2010 в EXCEL были функции НОРМОБР() и НОРМСТОБР() , которые эквивалентны НОРМ.ОБР() и НОРМ.СТ.ОБР() . НОРМОБР() и НОРМСТОБР() оставлены в MS EXCEL 2010 и выше только для совместимости.

Линейные комбинации нормально распределенных случайных величин

Известно, что линейная комбинация нормально распределённых случайных величин x(i) с параметрами μ(i) и σ(i) также распределена нормально. Например, если случайная величина Y=x(1)+x(2), то Y будет иметь распределение с параметрами μ(1)+ μ(2) и КОРЕНЬ(σ(1)^2+ σ(2)^2). Убедимся в этом с помощью MS EXCEL.

С помощью надстройки Пакет анализа сгенерируем 2 массива по 100 чисел с различными μ и σ.

Теперь сформируем массив, каждый элемент которого является суммой 2-х значений, взятых из каждого массива.

С помощью функций СРЗНАЧ() и СТАНДОТКЛОН.В() вычислим среднее и дисперсию получившейся выборки и сравним их с расчетными.

Кроме того, построим График проверки распределения на нормальность (Normal Probability Plot), чтобы убедиться, что наш массив соответствует выборке из нормального распределения.

Прямая линия, аппроксимирующая полученный график, имеет уравнение y=ax+b. Наклон кривой (параметр а) может служить оценкой стандартного отклонения, а пересечение с осью y (параметр b) – среднего значения.

Для сравнения сгенерируем массив напрямую из распределения N(μ(1)+ μ(2); КОРЕНЬ(σ(1)^2+ σ(2)^2)).

Как видно на рисунке ниже, обе аппроксимирующие кривые достаточно близки.

В качестве примера можно провести следующую задачу.

Задача. Завод изготавливает болты и гайки, которые упаковываются в ящики парами. Пусть известно, что вес каждого из изделий является нормальной случайной величиной. Для болтов средний вес составляет 50г, стандартное отклонение 1,5г, а для гаек 20г и 1,2г. В ящик фасуется 100 пар болтов и гаек. Вычислить какой процент ящиков будет тяжелее 7,2 кг.
Решение. Сначала переформулируем вопрос задачи: Вычислить какой процент пар болт-гайка будет тяжелее 7,2кг/100=72г. Учитывая, что вес пары представляет собой случайную величину = Вес(болта) + Вес(гайки) со средним весом (50+20)г, и стандартным отклонением =КОРЕНЬ(СУММКВ(1,5;1,2)) , запишем решение
= 1-НОРМ.РАСП(72; 50+20; КОРЕНЬ(СУММКВ(1,5;1,2));ИСТИНА)
Ответ: 15% (см. файл примера лист Линейн.комбинация )

Аппроксимация Биномиального распределения Нормальным распределением

Если параметры Биномиального распределения B(n;p) находятся в пределах 0,1 10, то Биномиальное распределение можно аппроксимировать Нормальным распределением.

При значениях λ>15, Распределение Пуассона хорошо аппроксимируется Нормальным распределением с параметрами: μ, σ 2 =λ.

Подробнее о связи этих распределений, можно прочитать в статье Взаимосвязь некоторых распределений друг с другом в MS EXCEL. Там же приведены примеры аппроксимации, и пояснены условия, когда она возможна и с какой точностью.

СОВЕТ : О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector